基礎数学例

$3 \cdot 3^{2 y} - 4 \cdot 3^{y} = - 1$

ステップ 1

$3^{2 y}$ を累乗法として書き換えます。

$3 \cdot {(3^{y})}^{2} - 4 \cdot 3^{y} = - 1$

ステップ 2

$u$ を $3^{y}$ に代入します。

$3 \cdot u^{2} - 4 \cdot u = - 1$

ステップ 3

$- 4$ に $u$ をかけます。

$3 u^{2} - 4 u = - 1$

ステップ 4

$u$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

ステップ 4.2

群による因数分解。

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ステップ 4.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.2.1.1

$- 4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

ステップ 4.2.1.2

$- 4$ を $- 1$ プラス $- 3$ に書き換える

$3 u^{2} + (- 1 - 3) u + 1 = 0$

ステップ 4.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 u^{2} - 1 u - 3 u + 1 = 0$

ステップ 4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 u^{2} - 1 u) - 3 u + 1 = 0$

ステップ 4.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (3 u - 1) - (3 u - 1) = 0$

ステップ 4.2.3

最大公約数 $3 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 u - 1) (u - 1) = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 4.4

$3 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.4.1

$3 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 u - 1 = 0$

ステップ 4.4.2

$u$ について $3 u - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 u = 1$

ステップ 4.4.2.2

$3 u = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.4.2.2.1

$3 u = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 4.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 4.4.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{3}$

ステップ 4.5

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.5.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 4.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 4.6

最終解は $(3 u - 1) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{3}, 1$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ を $u = 3^{y}$ の中の $u$ に代入します。

$\frac{1}{3} = 3^{y}$

ステップ 6

$\frac{1}{3} = 3^{y}$ を解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $3^{y} = \frac{1}{3}$ として書き換えます。

$3^{y} = \frac{1}{3}$

ステップ 6.2

$3$ を $1$ 乗します。

$3^{y} = \frac{1}{3^{1}}$

ステップ 6.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $3^{1}$ を分子に移動させます。

$3^{y} = 3^{- 1}$

ステップ 6.4

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$y = - 1$

ステップ 7

$1$ を $u = 3^{y}$ の中の $u$ に代入します。

$1 = 3^{y}$

ステップ 8

$1 = 3^{y}$ を解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $3^{y} = 1$ として書き換えます。

$3^{y} = 1$

ステップ 8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{y}) = \ln (1)$

ステップ 8.3

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{y})$ を展開します。

$y \ln (3) = \ln (1)$

ステップ 8.4

右辺を簡約します。

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ステップ 8.4.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$y \ln (3) = 0$

ステップ 8.5

$y \ln (3) = 0$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.5.1

$y \ln (3) = 0$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 8.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.5.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 8.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 8.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.5.3.1

$0$ を $\ln (3)$ で割ります。

$y = 0$

ステップ 9

方程式が真になるような解をリストします。

$y = - 1, 0$

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